سه روشِ سامورایی»

یا به تعداد آدم‌ها راه هست برای رسیدن به جمع نسبیتیِ سرعت‌ها!»

نسبیت خاص -برای ذهن گالیله‌ای ما- نتیجه‌های اولیۀ غریب و درعین‌حال دوست‌داشتنی‌ای دارد. ساختار ریاضی زیبا و محکم این نظریه و تمام نتیجه‌های عجیب‌وغریب آن با شروع از 2 اصلی که اینشتین فرض کرد به‌راحتی قابل ردیابی هستند، یعنی اصل نسبیت و اصل ثابت‌بودن سرعت نور از دیدگاه دست‌گاه‌های مرجع مختلف. اصل نسبیت -در یک کلام- نمودِ تمام‌وکمالِ زیبایی‌شناسی فیزیک‌دان‌ها است. این اصل بیان می‌کند که تمام دست‌گاه‌های مرجع با یک‌دیگر هم‌ارزند و قوانین فیزیک در آن‌ها شکل یکسانی دارند. به نظرتان فرض منطقی‌ای نمی‌آید؟ اشکال ندارد! فرض کنید این‌طور نبود. اگر قوانین فیزیک فقط برای شمایی که بی‌حرکت نشسته‌اید و دارید این کلمات را می‌خوانید کار می‌کردند و برای منی که نسبت به شما در حال حرکت‌ام و دارم برایتان آب‌پرتقال می‌آورم نتایج اشتباه می‌دادند، به چه‌درد می‌خوردند! (دستِ‌کم به درد من که نمی‌خوردند!) اصل دوم، همان چیزی است که اینشتین در مقالۀ معروف سال 1905 / 1284 خود، یعنی پیرامون الکترودینامیک اجسام متحرک» که منجر به تولد نسبیت خاص شد، آن را فرض کرد. در حال حاضر می‌دانیم که می‌توان از این اصل چشم پوشید و به‌جای آن از اصلِ هم‌گنی فضا و زمان و هم‌سان‌گردی فضا استفاده کرد. اصل نسبیت به هم‌راه اصل اخیر دقیقن به همان نتایج قبلی منجر می‌شود و تغییری در نظریۀ نسبیت خاص به‌وجود نمی‌آورد. به‌ویژه وجود یک سرعت ثابت جهانی که از دید تمام دست‌گاه‌های مرجع  لایتغیر است (همان سرعت نور) بی‌درنگ از پذیرفتن این دو اصل ناشی می‌شود.

در این نوشته می‌خواهیم از 3 دیدگاه مختلف یکی از نتایج جالب نسبیت خاص را بررسی کنیم، یعنی رابطۀ جمع نسبیتی سرعت‌ها. ذهن گالیله‌ای ما می‌گوید که اگر من -در طول یک خط راست- با سرعت u نسبت به شما در حال دورشدن از شما باشم و خورشید هم -در طول همان خط راست- با سرعت v نسبت به من در حال دورشدن از من باشد، آن‌گاه او از دیدگاه شما دارد با سرعت w=u+v از شما دور می‌شود. اما در چارچوب نسبیت خاص این نتیجه صحیح نیست و فقط در سرعت‌های بسیار کم‌تر از سرعت نور تقریب نسبتن خوبی از جواب دقیق را به ما می‌دهد. داستان از همان اصلی که اینشتین فرض کرد سرچشمه می‌گیرد، یعنی ثابت‌ماندن سرعت نور از دیدگاه دست‌گاه‌های مرجع مختلفی که نسبت به یک‌دیگر با سرعت ثابت در حال حرکت‌اند. نمودِ این جمله چیست؟ یعنی اگر شما -همان‌طور که سر جایتان نشسته‌اید- یک پرتوی نور را (به هر روشی!) بتابانید می‌بینید که آن پرتو با سرعت ثابت c از شما دور می‌شود. من هم که با سرعت u در حال دورشدن از شما هستم اگر پرتوی نوری را در همان جهت بتابانم می‌بینم که آن پرتو با سرعت c از من دور می‌شود. تا این‌جا درست. حال نکتۀ حائز اهمیت این‌جاست که شما پرتوی من را هم این‌طور می‌بینید که انگار با سرعت c از شما دور می‌شود، و نه c+u! (شاید به‌تر می‌بود از فعل دیدن» استفاده نکنم، زیرا دیدن سازوکار خاص خودش را دارد که قبلن در این مقاله یکی از وجوه آن را بررسی کرده‌ام. به‌هرحال، حتمن متوجه می‌شوید که منظورم این است که سرعت هر دو پرتوی نوری که منِ در حال حرکت تابانده‌ام و آنی که خود شما تابانده‌اید نسبت به شما برابر c است.) همین نکته شاخک‌هایمان را تیز می‌کند که رابطۀ گالیله‌ای جمع سرعت‌ها کامل نیست و نیاز به اصلاح دارد.

اگر تنها چندجلسه سر یک کلاس استاندارد نسبیت خاص نشسته باشید، می‌توانید رابطۀ جمع نسبیتی سرعت‌ها را در یک خط از روی تبدیلات لورنتز به‌دست آورید. این کاری است که علی‌الاصول هر دانش‌جوی فیزیکی باید قادر به انجام آن باشد. اما نکته‌ای که من را به نوشتن این کلمات ترغیب کرد این است که اصولن دانش‌جوهایی که نسبیت خاص را می‌گذرانند، صرفن به یک‌مقدار توانایی -شاید اندک، شاید هم زیاد- در محاسبات کورکورانۀ آن می‌رسند، بدونِ این‌که شهودِ فیزیکی درست‌وحسابی‌ای از مفاهیم و مسائل مرتبط با آن کسب کنند. همان‌طور که گفتم، در این نوشته می‌خواهیم از 3 روش مختلف رابطۀ جمع نسبیتی سرعت‌ها را به‌دست آوریم. روش نخست، همان استفاده از تبدیلات لورنتز است. در روش دوم با اتکا به دوتا از نتایج عجیب‌وغریب نسبیت خاص، یعنی انقباض طول و اتساع زمان، به مسئله حمله می‌کنیم. در روش سوم اما از هیچ‌مفهوم یا اسمِ عجیب‌وغریبی استفاده نمی‌کنیم و صرفن با توجه به همان اصلی که بالاتر در مورد آن صحبت کردیم، یعنی ثابت‌بودن سرعت نور از دیدگاه دست‌گاه‌های مرجع مختلف، سعی می‌کنیم به رابطۀ صحیح جمع نسبیتی سرعت‌ها برسیم. (اگر پیش‌زمینۀ فیزیکی خاصی ندارید، پیش‌نهاد می‌کنم یک‌راست بروید سراغ روش سوم. مطمئن باشید چیزی را از دست نمی‌دهید. اصلن اگر راست‌ش را بخواهید کلِ این کلمات را نوشته‌ام تا به همین روش سوم برسم! باقیِ زیاده‌گویی‌ها برای این است که نوشته کامل باشد.)

پس دو دست‌گاه مرجع S و 'S را در نظر بگیرید که مانند شکل پایین محورهای مختصات آن‌ها موازی است. سرعت دست‌گاه 'S نسبت به دست‌گاه S برابر u و در جهت محور x است. هم‌چنین فرض می‌کنیم مبدأ زمان و مکان هر دو دست‌گاه در لحظۀ شروع، بر یک‌دیگر منطبق بوده‌اند. این پیکربندی را پیکربندی متعارف می‌نامیم. (فکر می‌کنم پیکربندی متعارف برگردان خوبی برای Standard Configuration باشد!)

روش نخست: یک دانش‌جوی فیزیکِ دوست‌داشتنی!

می‌دانیم تبدیلات لورنتز در شکل دیفرانسیلی برای پیکربندی متعارف به‌شکل زیر هستند:

که در آن c همان سرعت نور است و γ برابر است با . حال سرعت یک جسم متحرک که در جهت محور x حرکت می‌کند را در دست‌گاه 'S برابر 'v=dx'/dt و در دست‌گاه S برابر w=dx/dt در نظر می‌گیریم. هدف‌مان این است که با مشخص‌بودن u و v، سرعت جسم نسبت به دست‌گاه S یا همان w را محاسبه کنیم. برای این کار کافی است که معادلات تبدیلات لورنتزمان را بر یک‌دیگر تقسیم کنیم:

در نتیجه به‌دست می‌آوریم:

که همان رابطه‌ای است که به‌دنبال آن بودیم. دقت کنید که در حد سرعت‌های بسیار کم‌تر از سرعت نور، جملۀ دوم مخرج بسیار کوچک می‌شود و عملن می‌توانیم از آن در مقابل عدد 1 صرف نظر کنیم. می‌بینیم که در این تقریب، رابطۀ نهایی تبدیل به همان رابطۀ جمع گالیله‌ای سرعت‌ها که بالاتر به آن اشاره کردیم، یعنی w=u+v، می‌شود. 

روش دوم: همان دانش‌جوی فیزیک شهودش را چاشنی کار می‌کند!

فرض کنید دست‌گاه 'S قطاری است که با سرعت ثابت u نسبت به دست‌گاه S حرکت می‌کند. مانند شکل زیر در قسمتی از قطار یک لامپ قرار می‌دهیم که سیم D از آن آویزان است. یک میله با سرعت ثابت v نسبت به 'S در داخل قطار حرکت می‌کند. سرعت این میله نسبت به دست‌گاه S را برابر w درنظر بگیرید. طول این میله در دست‌گاه س برابر l_0، در دست‌گاه 'S برابر 'l و در دست‌گاه S برابر l است. فرض کنید این میله به‌صورتی طراحی شده‌است که اگر با سیم D برخورد کند لامپ روشن می‌شود. حال می‌خواهیم این اتفاق، یعنی روشن‌شدن لامپ را از دید ناظرهای هر دو دست‌گاه S و 'S بررسی کنیم. بگذارید حورا را به‌عنوان ناظر دست‌گاه S و سیدمهدی را به‌عنوان ناظر دست‌گاه 'S درنظر بگیریم!  

بیایید از سیدمهدی که داخل قطار است شروع کنیم. از دیدگاه او مسئله بسیار ساده است. او می‌بیند که لامپ به‌مدت Δt'=l'/v روشن خواهد بود. از دیدگاه حورا، میله با سرعت w حرکت می‌کند، اما برای او لامپ هم با سرعت u در همان جهت در حال حرکت است (بدیهی است که w بزرگ‌تر از u است)، پس او می‌بیند که لامپ به‌مدت  روشن خواهد بود. از طرفی طبق پدیده‌های انقباض طول و اتساع زمان می‌دانیم که روابط زیر بین پارامترهای مسئله برقرار است:

با کمی بازی‌کردن با روابط بالا به‌راحتی می‌توانیم به نتیجۀ زیر برسیم:

که اگر آن را برحسب w حل کنیم، به‌دست خواهیم آورد:

که همان نتیجه‌ای است که از روش نخست به‌دست آوردیم. دیدیم که بدون استفادۀ مستقیم از تبدیلات لورنتز و صرفن با درنظرگرفتن مفاهیمی چون انقباض طول و اتساع زمان و البته بررسی مسئله‌ای مفید و مختصر، توانستیم رابطۀ صحیح جمع نسبیتی سرعت‌ها را به‌دست آوریم. خب برویم سراغ روشِ سوم!

روش سوم: تمامی انسان‌های 9 تا 99 ساله!

در این روش نیز دوباره با همان قطار روش قبلی (دست‌گاه 'S) سروکار داریم که با سرعت u نسبت به دست‌گاه S در جهت x حرکت می‌کند. این‌بار تنها این پیش‌فرض را در ذهن نگه می‌داریم که سرعت نور در دست‌گاه‌های مرجع متفاوت، ثابت و برابر c است و هر اطلاعات علمی دیگری را از ذهن‌مان بیرون می‌ریزیم. یادآوری می‌کنیم که پیکربندی‌مان هم همان پیکربندی متعارف است. تا اطلاع ثانوی تمام پارامترها را نسبت به S می‌سنجم. بیایید فرض کنیم در لحظه‌ای معین، یک پرتوی نور و یک شخص، مانند طاها، که در انتهای قطار قرار دارند هم‌زمان شروع به حرکت به‌سمت جلوی قطار می‌کنند. سرعت پرتوی نور را c و سرعت طاها را w در نظر بگیرید. بدیهی است که پرتوی نور در زمانی مانند T، و زودتر از طاها، به جلوی قطار می‌رسد و مسابقه را می‌برد! سپس پرتوی نور از دیوارۀ جلویی قطار بازتاب می‌شود و به عقب برمی‌گردد و در زمانی مانند 'T (بعد از بازتاب) دوباره به طاها می‌رسد. دیدار دوبارۀ پرتوی نور و طاها در محلی نرسیده به دیوارۀ جلویی قطار رخ می‌دهد که از آن به‌اندازۀ کسر f از کل طول قطار L فاصله دارد. توجه کنید که مقدار f مستقل از چارچوب است، زیرا دربارۀ این‌که محل دیدارِ دوباره در کجای قطار است هیچ اختلاف نظری بین ناظرهای مختلف وجود ندارد. حال کار خود را با بررسی سه واقعیت ساده پیش می‌بریم.

یک. کل مسافتی که طاها از ابتدای حرکت تا مواجهۀ دوباره با پرتوی نور پیموده برابر است با مسافت عقب تا جلوی قطار که پرتوی نور می‌پیماید، منهایِ مسافتی که پرتوی نور در بازگشت تا محل مواجهه با طاها طی می‌کند:

دو. مسافتی که پرتوی نور از انتها تا جلوی قطار طی می‌کند برابر است با طول قطار، به‌اضافۀ مسافتی که قطار در طی این مدت می‌پیماید:

سه. مسافتی که پرتوی نور هنگام بازگشت از جلوی قطار تا رسیدن به طاها می‌پیماید برابر است با طول قطار از جلو تا نقطۀ دیدار، منهایِ مسافتی که قطار در طی بازگشت پرتوی نور طی می‌کند:

حال می‌توانیم از معادلۀ نخست و از حذف L بین معادلۀ دوم و سوم، نسبت T'/T را به دو طریق محاسبه کنیم:

از برابر قراردادن آن‌ها به‌راحتی به‌دست می‌آوریم:

دقت کنید که در طی استدلال‌مان از این نکته که سرعت قطار ناصفر است حرفی نزدیم، پس می‌توانیم مطمئن باشیم که این نتیجه در دست‌گاه 'S نیز صادق خواهد بود. پس بیایید به چارچوب قطار برویم. (اطلاع ثانوی!) می‌دانیم که مقدار c و f دست‌خوش تغییر نمی‌شوند. بدیهی است که در این چارچوب داریم v=0. پس اگر سرعت طاها را در چارچوب قطار v بنامیم، از رابطۀ بالا داریم:

حال اگر دو رابطۀ اخیر را با یک‌دیگر برابر قرار دهیم، با کمی عملیات جبری می‌توانیم w را برحسب باقی پارامترها محاسبه کنیم:

که همان چیزی است که می‌خواستیم! دیدیم که در مسیر استنتاج رابطۀ f، که همانا رابطۀ اصلی این قسمت است، از هیچ چیز» خاصی استفاده نکردیم. حقیقت این است که گالیله هم می‌توانست به این نتیجه برسد. تنها بخش استدلال ما که تفکر بعد از سال 1905 / 1284 را در بر می‌گیرد، این است که در این رابطه می‌توان سرعت نور را در رفت‌وآمد به دست‌گاه‌های مرجع مختلف ثابت فرض کرد. و همین کلید طلایی ما برای رسیدن به پاسخ بود!

دیدیم که توانستیم از 3 دیدگاه مختلف، رابطۀ جمع نسبیتی سرعت‌ها را به‌دست آوریم. با این‌که بررسی و رسیدن به پاسخ یک مسئله به روش‌های مختلف بسیار جذاب و دوست‌داشتنی است، اما باید دقت کنیم که انتظار چنین چیزی را هم داشتیم، زیرا تمامی مفاهیمی که در این 3 روش از آن‌ها استفاده کردیم مفاهیمی قابل اعتماد در چارچوب نسبیت خاص هستند که از همان اصل‌های نخستین ناشی می‌شوند. کار ما این بود که توانستیم از هر کدام از این مفاهیم به‌جا و درست استفاده کنیم.

حال در نقطۀ خوبی هستیم تا ذهن‌مان را ببریم به‌سمت یک مسئلۀ مشابه اما کمی متفاوت. در این نوشته فرض کردیم که سرعت جسم متحرک در جهت محور x است و توانستیم با دو روش شهودی (به‌غیر از استفاده از تبدیلات لورنتز) رابطۀ جمع نسبیتی سرعت‌ها را به‌دست آوریم. حال فرض کنید دست‌گاه‌های S و 'S مانند قبل در پیکربندی متعارف هستند، اما این‌بار به‌جای این‌که سرعت جسم‌مان در جهت x باشد، در صفحۀ y-z باشد، یعنی عمود بر جهت سرعت نسبی دست‌گاه‌هایمان. آیا می‌توانید بدون استفاده از تبدیلات لورنتز و مراجعۀ صرف به مفاهیمی مانند انقباض طول و اتساع زمان یا اصل ناوردایی سرعت نور، تبدیلات نسبیتی سرعت‌ها را در این حالت به‌دست آورید؟!

منبع‌ها:

1. J. H. Luscombe, "Core principles of special and general relativity," CRC Press (2019).

2. N. David Mermin, "Relativistic addition of velocities directly from the constancy of the velocity of light," Am. J. Phys. 51, 1130–1131 (Dec. 1983). English version - Persian version

3. A. Gjurchinovski, "Relativistic addition of parallel velocities from Lorentz contraction and time dilation,” Am. J. Phys. 74, 838–839 (2006).

4. M. S. Greenwood, "Relativistic addition of velocities using Lorentz contraction and time dilation," Am. J. Phys. 50, 1156–1157 (1982).